Crecimiento de Bacteria E. Coli por Metódo de Newton-Raphson: Modelo matematico del crecimiento bacteriano

Tiempo de generación o duplicación

Una célula crece progresivamente y se divide en dos células iguales.

El tiempo requerido para que la célula se divida (o para que la población de un organismo se duplique en número) se conoce como tiempo de generación o duplicación.

Calculo del número y tiempo de generaciones

Liga para consultar mas información: Formulas de crecimiento de generaciones

El crecimiento de una población es el aumento del número de células como consecuencia de un crecimiento individual y posterior división. El crecimiento de una población ocurre de una manera exponencial. El crecimiento exponencial es una consecuencia del hecho de que cada célula se divide dando dos (2) células hijas, las cuales al dividirse darán cada una dos células hijas, así es que en cada período de división la población se duplica.

La velocidad de crecimiento exponencial se expresa como tiempo de generación (G) y este se define como el tiempo que tarda una población en duplicarse. Los tiempos de generación varían ampliamente entre los microorganismos, algunos crecen rápidamente y presentan tiempos de generación de unos 30 minutos y otros tienen tiempos de generación de varias horas o incluso días.

Ejemplo de crecimiento bacteriano

Basado en el concepto que una célula se divide dando dos células hijas, y éstas a su vez se vuelven a dividir dando dos células cada una de ellas, se presenta en el siguiente cuadro la proliferación de una población de células a partir de una sola, con un tiempo de generación de 30 minutos.

Al graficar en un sistema de coordenadas el tiempo (abscisas) y el número de células (ordenadas) se obtiene una gráfica como la que se muestra en el siguiente esquema:

Para otro ejemplo: Cinetica del Crecimiento

Como se observa en la gráfica la curva aumenta su pendiente. Frecuentemente es útil

transformar los datos de número de células a su logaritmo decimal (ó graficar el número

de células versus el tiempo transcurrido en una gráfica semilogarítmica). Se obtiene así

una gráfica en la que la relación es lineal.

En un gráfico de los resultados del número de células tanto en escala aritmética como en escala logarítmica en función del tiempo transcurrido, podemos observar que en el gráfico aritmético se obtiene una curva con una pendiente que crece constantemente, mientras que si transformamos el número de células en logaritmo y se grafican estos valores en escala logarítmica y el tiempo en escala aritmética se obtiene una línea recta.

MATEMÁTICA DEL CRECIMIENTO EXPONENCIAL

Cuando se inocula una bacteria en un medio y ha transcurrido el tiempo de generación de este microorganismo, se forman dos células, después de otra generación cuatro células después de la tercera generación ocho células. Es decir en cada generación sucesiva se duplica la población. La relación que existe entre el número de células y las generaciones de un cultivo creciendo en forma exponencial, puede deducirse matemáticamente de la manera siguiente:

Se designa como:

x = Nº de bacterias al tiempo 0

y = Nº de bacterias al tiempo t

t = tiempo en crecimiento exponencial

Al tiempo 0 y = x

Después de:

1 generación y = x.2

2 generaciones y = (x.2) 2 =22 x

3 generaciones y = (22 x) 2= 23 x

n generaciones y = 2n x (1)

Para calcular n = (número de generaciones). Resolviendo la ecuación (1) para n se tiene:

log y = log x + n log 2

Si se sustituye en la ecuación anterior log 2 por su valor 0.3010, se tiene que 1/0.3010 = 3.3

n = 3.3 log y/x

Por consiguiente, aplicando la ecuación anterior puede calcularse el número de generaciones que han tenido lugar, siempre que se conozca la población inicial x, y la población y después del tiempo t.

El tiempo de generación G es igual a t (tiempo transcurrido en fase exponencial para llegar de x a y) dividido por el número de generaciones n, o sea:

G= t/n

Ejemplo:

Se tienen 1000 bacterias en un medio de cultivo óptimo y después de 4 horas de incubación, creciendo exponencialmente, se obtienen 100.000 bacterias. Calcule el tiempo de generación.

Datos:

x = 1000

y = 100.000

T = 4 horas

G =?

n = 3.3 log y/x n = 3.3 log 100.000/1000 = 6.6 generaciones

Formula:

G =T / n

G = 240 / 6.6 = 36,36 minutos

Mas ejemplos de proliferación de bacterias: Problemas resueltos de aplicacin de funciones exponenciales

Definición de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de estas dos funciones:

La función exponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos evolutivos.

Ejemplo: Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas.