Aplicacion Metodo Newton

Aplicación del Método de Interpolación de Newton al Crecimiento de la Bacteria E. Coli en un paciente

Se supone que un paciente llega a un consultorio medico después de que días antes había ingerido alimentos en un puesto de comida callejera que no cumple con las condiciones mínimas de higiene que otorga un supervisor de verificación sanitaria. Tras haber consumido alimentos en estos sitios callejeros el paciente comienza a tener malestares y el medico manda una muestra a un laboratorio para que sea analizada y se determine los padecimientos que pueda llegar a tener dicho paciente, ademas se hará una estimación del como fue creciendo la bacteria y obtener un polinomio empleando el método de interpretación de Newton.

La siguiente tabla presenta información de como fue creciendo la bacteria Escherichia coli.

Se hace una estimación en un periodo de 2 Horas para determinar el numero de bacterias que se duplicaron en la hora indicada, por medio del Método Newton Progresivo.

Se hace una estimación en un periodo de350 minutos para determinar el numero de bacterias que se duplicaron, por medio del Método Newton Regresivo.

Tras haber realizado el analisis del cultivo de la bacteria podemos concluir que el paciente puede llegar a tener los siguientes padecimientos debido al crecimiento de la bacteria E. Coli en su intestino:

· Gastroenteritis(es una inflamación de la membrana interna del intestino causada por un virus, una bacteria o parásitos). Los sintomas son:

• Diarrea
• Dolor abdominal
• Vómitos
• Dolor de cabeza
• Fiebre
• Escalofríos.

· Infeccion de vias urinarias

• Dolor o ardor al orinar
• Fiebre, cansancio o temblores
• Urgencia frecuente de orinar
• Presión en la región inferior del abdomen
• Orina con mal olor o con apariencia turbia o rojiza
• Con menor frecuencia, náusea o dolor de espalda

· Sepsis(Infección en el riñon)

• Distencion(Intestino se agranda)

Metodo Interpolacion de Newton

Interpolación de Newton

Concepto interpolación

Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuación cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.

Método de Interpolacion de Newton

Se basa en la obtención de un polinomio a partir de un conjunto de puntos dado, aproximándose lo mas posible a la curva buscada.

La ecuación general para la obtención de la función por este método es:

Donde las “bi” se obtienen mediante la aplicación de una serie de funciones incluidas en una tabla de diferencias.

Fórmula progresiva de Newton 

Fórmula Regresiva de Newton

Las fórmulas de Newton no son apropiadas para aproximar un valor x que se encuentre cerca del centro de la tabla, ya que empleando ya sea el método regresivo o el progresivo, de tal manera que se involucre a la diferencia de orden mayor, no permitirá a x0 estar cerca de x. En estas circunstancias se dispone de un sinnúmero de fórmulas de diferencias divididas, cada una de ellas puede usarse en ciertas situaciones con una ventaja máxima. Estos métodos se conocen como métodos de diferencias centradas. 

Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de Newton y el de Lagrange requieren de un esfuerzo de cálculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. También existen casos en donde la forma de Newton es más susceptible a los errores de redondeo. Debido a esto y a que no se requiere calcular y almacenar diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio se conoce a priori.

Para mayor infomarmación: Interpolacion de newton.pdf
                                                   Recursos Interpolacion Newton

Modelo matematico del crecimiento bacteriano

Tiempo de generación o duplicación

• Una célula crece progresivamente y se divide en dos células iguales.

• El tiempo requerido para que la célula se divida (o para que la población de un organismo se duplique en número) se conoce como tiempo de generación o duplicación.

Calculo del número y tiempo de generaciones

Liga para consultar mas información: Formulas de crecimiento de generaciones


El crecimiento de una población es el aumento del número de células como consecuencia de un crecimiento individual y posterior división. El crecimiento de una población ocurre de una manera exponencial. El crecimiento exponencial es una consecuencia del hecho de que cada célula se divide dando dos (2) células hijas, las cuales al dividirse darán cada una dos células hijas, así es que en cada período de división la población se duplica.

La velocidad de crecimiento exponencial se expresa como tiempo de generación (G) y este se define como el tiempo que tarda una población en duplicarse. Los tiempos de generación varían ampliamente entre los microorganismos, algunos crecen rápidamente y presentan tiempos de generación de unos 30 minutos y otros tienen tiempos de generación de varias horas o incluso días.



Ejemplo de crecimiento bacteriano

Basado en el concepto que una célula se divide dando dos células hijas, y éstas a su vez se vuelven a dividir dando dos células cada una de ellas, se presenta en el siguiente cuadro la proliferación de una población de células a partir de una sola, con un tiempo de generación de 30 minutos.

Al graficar en un sistema de coordenadas el tiempo (abscisas) y el número de células (ordenadas) se obtiene una gráfica como la que se muestra en el siguiente esquema:

Para otro ejemplo: Cinetica del Crecimiento

Como se observa en la gráfica la curva aumenta su pendiente. Frecuentemente es útil 

transformar los datos de número de células a su logaritmo decimal (ó graficar el número 

de células versus el tiempo transcurrido en una gráfica semilogarítmica). Se obtiene así 

una gráfica en la que la relación es lineal.

En un gráfico de los resultados del número de células tanto en escala aritmética como en escala logarítmica en función del tiempo transcurrido, podemos observar que en el gráfico aritmético se obtiene una curva con una pendiente que crece constantemente, mientras que si transformamos el número de células en logaritmo y se grafican estos valores en escala logarítmica y el tiempo en escala aritmética se obtiene una línea recta.

MATEMÁTICA DEL CRECIMIENTO EXPONENCIAL

Cuando se inocula una bacteria en un medio y ha transcurrido el tiempo de generación de este microorganismo, se forman dos células, después de otra generación cuatro células después de la tercera generación ocho células. Es decir en cada generación sucesiva se duplica la población. La relación que existe entre el número de células y las generaciones de un cultivo creciendo en forma exponencial, puede deducirse matemáticamente de la manera siguiente:

Se designa como:

x = Nº de bacterias al tiempo 0

y = Nº de bacterias al tiempo t

t = tiempo en crecimiento exponencial

Al tiempo 0 y = x

Después de: 

1 generación y = x.2

2 generaciones y = (x.2) 2 =22 x

3 generaciones y = (22 x) 2= 23 x

n generaciones y = 2n x (1)

Para calcular n = (número de generaciones). Resolviendo la ecuación (1) para n se tiene:

log y = log x + n log 2

Si se sustituye en la ecuación anterior log 2 por su valor 0.3010, se tiene que 1/0.3010 = 3.3

n = 3.3 log y/x

Por consiguiente, aplicando la ecuación anterior puede calcularse el número de generaciones que han tenido lugar, siempre que se conozca la población inicial x, y la población y después del tiempo t.

El tiempo de generación G es igual a t (tiempo transcurrido en fase exponencial para llegar de x a y) dividido por el número de generaciones n, o sea:

G= t/n

Ejemplo:

Se tienen 1000 bacterias en un medio de cultivo óptimo y después de 4 horas de incubación, creciendo exponencialmente, se obtienen 100.000 bacterias. Calcule el tiempo de generación.

Datos:

x = 1000

y = 100.000

T = 4 horas

G =?

n = 3.3 log y/x n = 3.3 log 100.000/1000 = 6.6 generaciones

Formula: 

G =T / n

G = 240 / 6.6 = 36,36 minutos

Mas ejemplos de proliferación de bacterias: Problemas resueltos de aplicacin de funciones exponenciales

Definición de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

FUNCIÓN EXPONENCIAL 

La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de estas dos funciones:

La función exponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos evolutivos. 

Ejemplo: Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas. 

El número total al cabo de x horas será

Si al comienzo del proceso había k amebas, el número total sería:

FUNCIÓN LOGARÍTMICA - LOGARITMOS

Recurso funciones logaritmicas y exponenciales pdf

Bacteria E. Coli

Bacteria E. Coli

E. coli es la abreviatura de Escherichia coli, un tipo de bacteria que vive en el intestino. La mayoría de las E. coli son inofensivas. Sin embargo, algunos tipos pueden producir enfermedades y causar diarrea. Es más, una variedad de E. coli, denominada0157:H7, causa una diarrea hemorrágica, y a veces puede provocar insuficiencia renal e incluso la muerte, especialmente en niños y en adultos con sistemas inmunológicos debilitados. En 1982 se identificó el primer brote de E. coli O157:H7 por comer carne de hamburguesas contaminadas con la bacteria. Desde entonces, las epidemias de E. coli O157:H7 han sido asociadas con otros tipos de alimentos, tales como espinacas, lechuga, repollo y, ahora, también pepino. 

Se pueden adquirir infecciones por E. coli al consumir alimentos que contienen la bacteria. Para ayudar a evitar la intoxicación por alimentos y prevenir infecciones, es preciso manipular la comida con seguridad, cocinar bien las carnes a alta temperatura, lavar las frutas y verduras antes de comerlas o cocinarlas, y evitar la leche sin pasteurizar. También se puede adquirir la infección al tragar agua en una piscina contaminada con desechos humanos.

La mayoría de los casos de infección por E. coli mejoran espontáneamente en 5 a 10 días.


Modelo de Crecimiento Bacteriano E. Coli

En condiciones apropiadas, una bacteria Gram-positiva puede dividirse cada 20 – 30 minutos y una Gram-negativa cada 15 – 20 minutos, y en alrededor de 16 horas su número puede ascender a unos 5.000 millones (aproximadamente el número de personas que habitan la Tierra). Bajo condiciones óptimas, algunas bacterias pueden crecer y dividirse extremadamente rápido, tanto como cada 9,8 minutos

Fisión Binaria

Reproducción de Bacterias

Generalmente las bacterias se multiplican asexualmente por bipartición o división binaria, tras la replicación del ADN, que está dirigida por la ADN polimerasa de los mesosomas, la pared bacteriana crece hasta formar un tabique transversal que separa las dos nuevas bacterias. (Simple división)

• Las bacterias generalmente se reproducen por fisión binaria.
• Una célula se divide en dos después de desarrollar una pared transversa.
• Generalmente es asexual aunque en algunas especies puede ser precedida de conjugación.

Crecimiento

En un sistema biológico se define al crecimiento como el aumento ordenado de las estructuras y los constituyentes celulares de un organismo. Según ello, el aumento de la masa celular producido por acumulación de productos de reserva (glucógeno, poliβ- hidroxibutirato) no constituyen crecimiento. Se puede considerar como crecimiento al incremento de células individuales por un lado, y por otro lado se puede considerar al crecimiento del número de células (proliferación de la población).

• Se define como un incremento ordenado de los principales constituyentes de un organismo.
• Involucra síntesis de estructuras celulares, ácidos nucleicos, proteínas y otros componentes celulares a partir de nutrientes.
• Todos los seres vivos toman nutrientes y excretan productos de desecho.

Para mayor información, acerca del crecimiento bacteriano consulta la liga: Crecimiento Microbiano

Concepto Fisión Binaria

Es un proceso en el cual de la división de una célula resultan dos (2) células, usualmente ambas células hijas tienen el mismo tamaño y forma. Este es el proceso más común y sin duda el más importante en el ciclo de crecimiento de las poblaciones bacterianas. En un cultivo en crecimiento la célula bacteriana aumenta de tamaño, replica su ADN y la pared celular y la membrana citoplasmática comienzan a crecer hacia adentro a partir de direcciones opuestas formando una partición conocida como septo. A cada lado del septo se ubica una copia del cromosoma bacteriano y los otros constituyentes celulares que le permitan a cada célula hija vivir como célula independiente. Luego se separan como dos células hijas resultantes de la división de la célula madre original.

División binaria de células procariotas:

1.- El cromosoma circular está unido a un punto de la membrana plasmática.

2.- El cromosoma se duplica. Las dos copias están fijas a la membrana en puntos cercanos.

3.- La célula se alarga, se agrega nueva membrana plasmática entre los puntos de unión.

4.- La membrana plasmática crece hacia el interior.

5.- La célula original se ha dividido en dos células hijas. La imagen corresponde al corte transversal de una célula procariota durante la fisión binaria en una etapa similar a la fase 4 descripta.

Antibióticos

Bacteria

BACTERIA

Concepto de Bacteria

Las bacterias son organismos unicelulares procariontes, esto quiere decir que están formados por una sola célula carente de núcleo, con movilidad propia y que ostentan un muy pequeño tamaño y diversidad en su forma: alargadas (bacilos), esféricas (cocos),o en forma espiral (espirilos); entre otras.

Las bacterias son los organismos que más abundan en el planeta tierra y a los cuales los podemos encontrar en los más diversos hábitats, incluso en aquellos que suponen las más desfavorables condiciones para la subsistencia de cualquier organismo vivo.

Se estima que hay en torno a 40 millones de células bacterianas en un gramo de tierra y un  millón de células bacterianas en un mililitro de agua dulce. En total, se calcula que hay aproximadamente 5 x 10^30 bacterias en el mundo.

Origenes

žLas bacterias constituyen las formas de vida más tempranas que aparecieron en la Tierra, hace miles de millones de años. Los científicos piensan que ellas ayudaron a formar y cambiar el medio ambiente inicial del planeta, creando eventualmente el oxígeno atmosférico que permitió el desarrollo de otras formas de vida más complejas. 

žMuchos creen que las células más complejas se desarrollaron cuando las bacterias se hicieron residentes de otras células, convirtiéndose en organelos en las células modernas complejas. Un ejemplo de tales organelos son las mitocondrias, las cuales fabrican la energía en nuestras células.

Tamaño

El tamaño de las bacterias oscila entre las 0.5 y 3 µm, pudiendo llegar en algunos tipos a 10 µm. Las bacterias de interés médico tienen un tamaño entre 0.4 y 2 µm. Solo son visibles 

entonces, al microscopio óptico o microscopio electrónico. Para observarlas con el microscopio óptico se usa el objetivo de inmersión (100X), sumergiendo esta lente en una gota de aceite (aceite de inmersión) en el preparado a observar. A modo comparativo, una célula eucariota mide más de 5 µm (un eritrocito tiene un diámetro de 7µm), mientras que un reovirus mide menos de 0.1µm. Su tamaño pequeño determina una relación entre la superficie y el volumen elevada, con alta tasa metabólica. 

Unidades de medida en Microscopia

Micra (m ) : una millonésima de metro.

Nanómetro (nm) – Milimicra (mm): Mil millonésima de metro

Ángstrom (Å): diez mil millonésima de metro

1 micra (m ) = 10-3 mm  = 10-6 m

1 nanómetro (nm)  = 1 milimicra (m m ) = 10-3m  = 10-6 mm  =10-9 m

1 angstrom (Å.)  = 10-1nm  = 10 -10 m

Clasificación según su forma

Las más comunes:

1) Cocos,        2) Bacilos,        3) Vibrios,        4) Espirilos

Grupos bacterianos

En un árbol filogenético universal (establecido por Carl Woese), podemos ver la ubicación de las bacterias.

Estructura de las bacterias

•Poseen una cápsula, que está formada por una capa gelatinomucosa de tamaño y composición variables que juega un papel importante en las bacterias patógenas. 

•Citoplasma: Presenta un aspecto viscoso, y en su zona central aparece un nucleoide que contiene la mayor parte del ADN bacteriano. En algunas bacterias aparecen fragmentos 

circulares de ADN con información genética, dispersos por el citoplasma: son los plásmidos. 

•La membrana plasmática presenta invaginaciones, que son los mesosomas, donde se encuentran enzimas que intervienen en la síntesis de ATP, y los pigmentos fotosintéticos en el caso de bacterias fotosintéticas. 

•En el citoplasma se encuentran inclusiones de diversa naturaleza química. 

•Muchas bacterias pueden presentar flagelos generalmente rígidos, implantados en la membrana mediante un corpúsculo basal. Pueden poseer también fimbrias o pili muy numerosos y cortos, que pueden servir como pelos sexuales para el paso de ADN de una célula a otra. 

•Poseen ARN y ribosomas característicos, para la síntesis de proteínas.

Para mayor información consulta el siguiente link: Estructura bacteriana PDF

Diferencias entre células Procariotas y Eucariotas

Nutrición Bacteriana

Envolturas Bacteriana

• Membrana citoplasmática
• Pared Celular
• Cápsula

Pared Celular

Está presente en todas las bacterias. Es una envoltura rígida, exterior a la membrana. Da forma a la bacteria y según su composición confiere ciertas particularidades a las bacterias, lo que permite su clasificación en Gram positivas y Gram negativas.

Ubicada por fuera de la membrana plasmática, es una estructura vital para las bacterias que la poseen. Los fármacos que bloquean su formación producen la lisis y muerte de las bacterias susceptibles.La pared puede proteger a la célula de las sustancias tóxicas y es el sitio de acción de algunos antibióticos.

Gram positivas y Gram negativas

• Bacterias Gram positivo: Son bacterias que se tiñen de azul oscuro o violeta por la tincion de Gram

• Bacterias Gram negativo: Aquellas bacterias que no se tiñen de azul oscuro o violeta por la tintion de Gram 

Coloración de Gram

La coloración de Gram es la más usada en bacteriología; debe su nombre a quien la descubrió en 1884. Es una coloración diferencial, dado que las bacterias pueden clasificarse según su respuesta en gram positivas o gram negativas. Las primeras se tiñen de color azul violeta y las segundas adquieren un color rosado o rojo. La diferente reacción de las bacterias a la coloración de Gram se relacionan con diferencias fundamentales de la envoltura celular de estas dos clases de células.

Se muestran los colorantes usados, su tiempo de aplicación y la diferente coloración que   adoptan las bacterias Gram positivas y Gram negativas en cada paso de la coloración.